자동 정리 증명

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1. 개요

자동 정리 증명은 논리적 진술의 타당성을 자동으로 확인하는 데 사용되는 기술이다. 19세기 말과 20세기 초에 형식 논리가 발전하면서 그 역사가 시작되었으며, 1950년대에 최초의 컴퓨터가 등장하면서 본격적으로 구현되기 시작했다. 자동 정리 증명은 명제 논리, 1차 논리 등 다양한 논리를 지원하며, 집적 회로 설계 및 검증, 프로그램 합성 및 검증, 자연어 처리 등 다양한 분야에 응용된다. 문제의 결정 가능성, 관련 문제(증명 검증, 증명 압축, 증명 보조 도구 등), 벤치마크, 경쟁 및 자료, 주요 기법, 소프트웨어 시스템 등 다양한 측면에서 연구가 진행되고 있으며, E, Vampire, Z3 등 다양한 시스템이 개발되어 사용되고 있다.

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자동 정리 증명
자동 정리 증명
학문 분야
분야	자동 추론과 수학적 논리의 하위 분야
역사
개발 시기	1950년대
선구자	마틴 데이비스 힐러리 퍼트넘 조지프 로즈 앨런 로빈슨
접근 방식
종류	브루어-하워드 대응: 증명은 프로그램이고, 정리 증명기는 프로그램 합성기임 정리 증명기 지원: 사람이 증명을 안내함 자동 정리 증명: 사람이 거의 또는 전혀 관여하지 않음
관련 주제
관련 주제	자동 추론 수학적 논리 정리 증명기 지원 SAT 해결 모델 검사 컴퓨터 대수학 시스템 계산기 대수학 시스템 Coq HOL Isabelle Metamath Mizar 시스템 프루프 어시스턴트 LCF (논리 계산 함수)

2. 역사적 배경

논리학의 기원은 아리스토텔레스까지 거슬러 올라가지만, 현대적 수리 논리학은 19세기 말부터 20세기 초에 발전했다. 프레게의 『개념 표기』(1879)는 완전한 명제 논리와 1차 술어 논리의 기본적인 것을 도입했다.^[30] 프레게의 『산술의 기초』(1884)에서도 형식 논리의 수학(의 일부)을 설명하고 있다.^[31] 이러한 흐름을 계승한 것이 러셀과 화이트헤드의 『프린키피아 마테마티카』로, 초판은 1910년부터 1913년에 출판되었으며, 1927년에 제2판이 나왔다.^[32]^[33] 러셀과 화이트헤드는 공리와 형식 논리의 추론 규칙으로부터 모든 수학적 진리가 도출될 수 있다고 생각하여, 자동 정리 증명으로 가는 길을 열었다.

1920년, 토럴프 스콜렘은 뢰벤하임-스콜렘 정리를 제시했고, 1930년에는 에르브랑 영역과 에르브랑 해석에 의해 1차 논리식의 충족(불)가능성(및 정리의 타당성)을 명제 논리의 충족 가능성 문제로 환원할 수 있음을 보였다.^[34] 1929년, 모이셰 프레스버거는 프레스버거 산술이 결정 가능하며, 그 언어 내의 임의의 문장의 진위를 판정할 수 있는 알고리즘을 제시했다.^[35]^[36] 그러나 그 직후, 쿠르트 괴델은 ''Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I'' (1931)을 발표하여, 충분히 강력한 공리계는 그 체계 내에서 증명도 반증도 할 수 없는 문장을 포함할 수 있음을 보였다. 1930년대에 앨론조 처치와 앨런 튜링은 각각 독자적으로 등가적인 계산 가능성의 정의를 제시하고, 결정 불가능한 구체적인 예를 제시했다.

2. 1. 논리적 기초

형식 논리의 뿌리는 아리스토텔레스 논리까지 거슬러 올라간다.^[1] 19세기 말과 20세기 초, 고틀로프 프레게의 ''개념 표기법''(1879)과^[1] ''산술의 기초''(1884)는^[2] 현대 논리와 형식화된 수학의 발전을 이끌었다. 프레게의 ''개념 표기법''은 완전한 명제 논리와 현대적인 술어 논리를 모두 도입했다.^[1] ''산술의 기초''는 수학의 일부를 형식 논리로 표현했다.^[2]

버트런드 러셀과 앨프리드 노스 화이트헤드의 ''수학 원리''(1910-1913, 개정판 1927)는^[3]^[4] 형식 논리를 사용하여 모든 수학적 진리를 도출하려는 시도였다. 러셀과 화이트헤드는 형식 논리의 공리와 추론 규칙을 사용하여 모든 수학적 진리를 도출할 수 있다고 생각했고, 이는 원칙적으로 자동화를 가능하게 했다.

1920년, 토랄프 스콜렘은 뢰벤하임-스콜렘 정리를 통해 일차 논리식의 만족도를 명제 만족도 문제로 환원할 수 있게 했다.^[5] 1930년에는 에르브랑 우주와 에르브랑 해석 개념이 나타났다.^[5]

1929년, 모제스 프레스버거는 프레스버거 산술이 결정 가능함을 보이고 알고리즘을 제시했다.^[6]^[7]

그러나 쿠르트 괴델의 불완전성 정리(1931)는 충분히 강력한 공리적 시스템에는 증명할 수 없는 참된 명제가 존재함을 보였다. 1930년대 앨런 튜링과 앨론조 처치는 계산 가능성에 대한 정의와 결정 불가능한 문제의 예를 제시했다.

2. 2. 초기 구현

제2차 세계 대전 이후, 최초의 범용 컴퓨터가 등장하면서 자동 정리 증명의 구현이 시작되었다. 1954년, 마틴 데이비스는 JOHNNIAC 진공관 컴퓨터에서 프레스버거 알고리즘을 프로그래밍하여 두 짝수의 합이 짝수임을 증명했다.^[7]^[8] 1956년, 앨런 뉴웰, 허버트 A. 사이먼, J. C. 쇼는 ''수학 원리''의 명제 논리에 대한 연역 시스템인 논리 이론가를 개발했다. JOHNNIAC에서 실행된 논리 이론가는 작은 명제 공리 집합과 세 가지 연역 규칙(모두스 포넨스, (명제) 변수 대입, 공식의 정의에 의한 대체)으로 증명을 구성했다. 이 시스템은 휴리스틱 지침을 사용했으며, ''수학 원리''의 처음 52개 정리 중 38개를 증명하는 데 성공했다.^[7]

초기 접근 방식은 자크 에르브랑과 토랄프 스콜렘의 결과를 기반으로 하여 일차 공식을 에르브랑 우주의 항으로 변수를 인스턴스화하여 일련의 점점 더 큰 명제 공식 집합으로 변환했다. 그런 다음 여러 가지 방법을 사용하여 명제 공식의 불만족성을 확인할 수 있었다. 길모어의 프로그램은 공식의 만족성을 명확하게 하는 형식인 분리 정규 형식으로의 변환을 사용했다.^[7]^[9]

3. 문제의 결정 가능성

기저 논리에 따라 공식의 타당성을 결정하는 문제는 사소한 것부터 불가능한 것까지 다양하다. 명제 논리의 경우, 문제는 결정 가능하지만 co-NP-완전이므로, 일반적인 증명 작업에는 지수 시간 알고리즘만 존재하는 것으로 여겨진다.^[1] 1차 술어 계산의 경우, 괴델의 완전성 정리에 따라 타당한 공식은 계산 가능 열거 가능하다.^[1] 그러나 1차 이론으로 설명할 수 있는 특정 모델의 경우, 일부 명제는 참이지만 결정 불가능할 수 있다. (예: 괴델의 불완전성 정리)^[1] 이러한 이론적 한계에도 불구하고, 실용적인 정리 증명기는 (정수와 같이) 1차 이론으로 완전히 설명되지 않는 모델에서도 많은 어려운 문제를 해결할 수 있다.^[1]

4. 관련 문제

증명 검증은 기존 증명의 유효성을 확인하는 문제로, 각 증명 단계가 원시 재귀 함수 또는 프로그램으로 검증 가능해야 하므로 항상 결정 가능하다.

자동 정리 증명기가 생성하는 증명은 보통 매우 크기 때문에 증명 압축 문제가 중요하며, 증명기의 출력을 더 작게 만들어 쉽게 이해하고 확인할 수 있도록 하는 다양한 기술이 개발되었다.

증명 보조 도구는 인간 사용자가 시스템에 힌트를 제공해야 한다. 자동화 정도에 따라 증명기는 증명 검사기로 축소될 수도 있고, 중요한 증명 작업을 자동으로 수행할 수도 있다. 대화형 증명기는 다양한 작업에 사용되지만, 완전 자동 시스템조차도 로빈스 추측을 포함하여 오랫동안 인간 수학자들이 풀지 못했던 어려운 정리들을 증명했다.^[10]^[11] 그러나 이러한 성공은 산발적이며, 어려운 문제에 대한 작업은 대개 숙련된 사용자를 필요로 한다.

모델 검사는 가능한 모든 상태를 열거하여 검사하는 방법이다. (모델 검사기의 실제 구현은 훨씬 더 영리하며, 단순히 무차별 대입으로 축소되지 않는다.) 추론 규칙으로 모델 검사를 사용하는 하이브리드 정리 증명 시스템도 있다. 사색 정리의 기계 보조 증명은 프로그램 계산이 매우 방대하여 인간이 검증하기 불가능했던 최초의 수학적 증명으로, 비조사 증명이라고 불린다. 프로그램 보조 증명의 또 다른 예는 Connect Four 게임에서 첫 번째 플레이어가 항상 이길 수 있음을 보여주는 증명이다.

5. 응용 분야

자동 정리 증명은 집적 회로 설계 및 검증, 프로그램 합성, 자연어 처리 및 형식 의미론 등 다양한 분야에 응용되고 있다.

5. 1. 집적 회로 설계 및 검증

펜티엄 FDIV 버그 이후, 최신 마이크로프로세서의 부동 소수점 장치는 더욱 면밀한 검토를 거쳐 설계되었다. AMD, 인텔 등은 자동 정리 증명을 사용하여 자사 프로세서에서 나눗셈 및 기타 연산이 올바르게 구현되었는지 검증한다.^[12]

5. 2. 프로그램 합성 및 검증

자동 정리 증명은 형식적 명세를 충족하는 프로그램을 구성하는 프로그램 합성에 사용된다.^[13] 프로그램 검증은 자동 정리 증명기를 사용하여 프로그램의 정확성을 검증하는 분야이다. 자동 정리 증명기는 증명 보조자와 통합되었으며, 여기에는 Isabelle/HOL이 포함된다.^[14]

5. 3. 자연어 처리 및 형식 의미론

자동 정리 증명은 자연어 처리 및 형식 의미론에서 담화 표현 이론을 분석하는 데 사용된다.^[15]^[16]

5. 4. 기타 응용

자동 정리 증명은 주로 집적 회로 설계 및 검증에 사용된다. 펜티엄 FDIV 버그 이후, 최신 마이크로프로세서의 부동 소수점 장치는 더욱 면밀한 검토를 거쳐 설계되었다. AMD, 인텔 등은 자동 정리 증명을 사용하여 자사 프로세서에서 나눗셈 및 기타 연산이 올바르게 구현되었는지 검증한다.^[12]

프로그램 합성은 형식적 명세를 충족하는 프로그램을 구성하는 것인데, 자동 정리 증명기는 이 프로그램 합성에도 사용된다.^[13] 자동 정리 증명기는 증명 보조자와 통합되었으며, 여기에는 Isabelle/HOL이 포함된다.^[14]

자연어 처리 및 형식 의미론에서 담화 표현 이론을 분석하는 데에도 자동 정리 증명기가 응용된다.^[15]^[16] 자동 정리 증명과 관련된 문제로는 자동 증명 검증과 증명의 컴퓨터 지원이 있다. 정리 증명의 정당성을 검증하려면 증명의 각 단계를 원시 귀납 함수나 프로그램으로 검증할 수 있어야 하며, 이를 통해 문제는 항상 결정 가능하게 된다.

자동 정리 증명으로 생성되는 증명은 방대해지는 경우가 많아, 증명 압축 문제가 중요해졌으며, 다양한 기법이 고안되었다.

대화형 정리 증명기에서는 인간 사용자가 시스템에 힌트를 제공해야 한다. 자동화 정도에 따라 증명기가 단순한 증명 검증기처럼 되어 사용자가 제공한 형식적 증명을 검증하기만 하는 경우도 있고, 대부분의 증명을 자동으로 수행하는 경우도 있다. 대화형 증명기는 다양한 작업에 사용할 수 있지만, 완전 자동 시스템은 오랫동안 인간 수학자들이 어려움을 겪어온 어려운 문제를 증명해왔다.^[39]^[40]

정리 증명과 그 외의 기술의 차이점으로는, 공리에서 출발하여 추론 규칙에 따라 추론을 수행하는 것을 정리 증명이라고 부른다. 모델 검사 등 그 외의 기술에서는, 가능한 모든 상태를 열거하는 것과 같다 (모델 검사의 구현에서는 조금 더 지능이 필요하지만, 그렇다고 무차별 대입 방식이 아닌 것은 아니다).

모델 검사적 기법을 추론 규칙으로 이용하는 하이브리드형 정리 증명 시스템도 존재한다. 또한, 특정 정리를 증명하기 위해 작성된 프로그램도 존재하며, 프로그램이 어떤 결과를 반환하고 종료되었을 때 정리가 참임이 증명된다. 그러한 프로그램의 좋은 예시로 사색 정리의 컴퓨터 지원 증명이 있다. 다른 예시로는 중력 사목 게임에서 선공이 반드시 이긴다는 것을 증명한 사례가 있다.

6. 일차 논리 정리 증명

일차 술어 정리 증명은 자동 정리 증명의 가장 성숙한 하위 분야 중 하나이다. 이 논리는 임의의 문제를, 종종 비교적 자연스럽고 직관적인 방식으로 명세할 수 있을 만큼 표현력이 풍부하다. 반면에, 이는 여전히 반 결정 가능하며, 여러 건전하고 완전한 계산법이 개발되어 ''완전히'' 자동화된 시스템을 가능하게 한다.^[20] 고차 논리와 같은 더 표현력이 풍부한 논리는 일차 술어 논리보다 더 광범위한 문제를 편리하게 표현할 수 있지만, 이러한 논리에 대한 정리 증명은 덜 발전되어 있다.^[21]^[22]

6. 1. SMT 솔버와의 관계

1차 자동 정리 증명기(ATP)와 SMT 솔버는 상당 부분 중복된다. ATP는 정량화자를 포함한 전체 1차 논리를 지원하는 데 중점을 두는 반면, SMT 솔버는 다양한 이론(해석된 술어 기호)을 지원하는 데 더 중점을 둔다.^[23] ATP는 정량화자가 많은 문제에 뛰어나고, SMT 솔버는 정량화자가 없는 대규모 문제에 강하다.^[23] 일부 ATP가 SMT-COMP에 참여하고 일부 SMT 솔버가 CASC에 참여할 정도로 경계가 모호하다.^[24]

7. 벤치마크, 경쟁 및 자료

구현된 자동 정리 증명 시스템의 품질은 표준 벤치마크 예제 라이브러리인 정리 증명 문제집(TPTP) 문제 라이브러리^[25]^[41]와 CADE ATP 시스템 경쟁(CASC)^[41] 덕분에 향상되었다. TPTP는 다양한 벤치마크 예제를 제공하며, CASC는 매년 열리는 일차 논리 시스템 경쟁으로 시스템 발전에 기여한다.

7. 1. 주요 시스템

다음은 주요 자동 정리 증명 시스템 목록이다. 이 시스템들은 모두 CADE ATP 시스템 경쟁(CASC)에서 최소 한 번 이상 우승했다.

E: 뮌헨 공과대학교에서 개발되었으며, 순수 방정식 미적분을 기반으로 하는 고성능 증명기이다.
오터: 아르곤 국립 연구소에서 개발되었으며, 일차 해상도 및 모수화를 기반으로 한다. Prover9로 대체되었다.
SETHEO: 뮌헨 공과대학교에서 개발된 목표 지향적인 모델 제거 미적분을 기반으로 하는 고성능 시스템이다. E와 SETHEO는 E-SETHEO로 결합되었다.
Vampire: 맨체스터 대학교에서 개발되었으며, 2001년 이후 CADE ATP 시스템 경쟁 FOF 부문에서 정기적으로 우승했다.^[26]
Waldmeister: 단일 방정식 일차 논리를 위한 특수 시스템으로, 14년 연속(1997-2010) CASC UEQ 부문에서 우승했다.
SPASS: 막스 플랑크 컴퓨터 과학 연구소에서 개발된 등식이 있는 일차 논리 정리 증명기이다.

8. 주요 기법

일차 논리 해상도와 통합
모델 제거
분석적 태블로 방법
중첩 계산과 항 다시 쓰기
모델 검사
수학적 귀납법^[28]
이진 결정 다이어그램
DPLL
고차 통합
양화사 제거^[29]

9. 소프트웨어 시스템

자동 정리 증명 분야에는 다양한 소프트웨어 시스템이 존재한다.

이름	라이선스 유형	웹 서비스	라이브러리	독립 실행형	마지막 업데이트 (YYYY-MM-DD)
ACL2	3조항 BSD	아니요	아니요	예	2019-05
Prover9/Otter	퍼블릭 도메인	TPTP 시스템을 통해	예	아니요	2009
Jape	GPLv2	예	예	아니요	2015-05-15
PVS	GPLv2	아니요	예	아니요	2013-01-14
EQP	불명	아니요	예	아니요	2009-05
PhoX	불명	아니요	예	아니요	2017-09-28
E	GPL	TPTP 시스템을 통해	아니요	예	2017-07-04
SNARK	Mozilla Public License 1.1	아니요	예	아니요	2012
Vampire	Vampire 라이선스	TPTP 시스템을 통해	예	예	2017-12-14
정리 증명 시스템 (TPS)	TPS 배포 계약	아니요	예	아니요	2012-02-04
SPASS	FreeBSD 라이선스	예	예	예	2005-11
IsaPlanner	GPL	아니요	예	예	2007
KeY	GPL	예	예	예	2017-10-11
Z3 정리 증명기	MIT 라이선스	예	예	예	2019-11-19

위 표에 언급된 소프트웨어 중 일부는 자유 소프트웨어로 제공된다. 예를 들어 알트-에르고(Alt-Ergo), E, 이사플래너(IsaPlanner), 프로버9(Prover9), PVS, Z3 정리 증명기 등이 이에 해당한다.

9. 1. 자유 소프트웨어

알트-에르고(Alt-Ergo)
오토매스(Automath)
CVC
E
이사플래너(IsaPlanner)
LCF
미자르(Mizar)
뉴프를(NuPRL)
패러독스(Paradox)
프로버9(Prover9)
PVS
SPARK (프로그래밍 언어)
트웰프(Twelf)
Z3 정리 증명기
Coq (※ 증명 지원 시스템)

9. 2. 상용 소프트웨어

CARINE
울프럼 매스매티카
리서치 사이크

참조

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_[5] 학위논문 Recherches sur la théorie de la démonstration https://eudml.org/do[...] University of Paris 1930
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_[7] 서적 Robinson, Voronkov (2001) 2012-09-08
_[8] 학술지 Early History and Perspectives of Automated Deduction http://www.intellekt[...] Springer 2012-09-02
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_[37] 논문 Early History and Perspectives of Automated Deduction http://www.intellekt[...] Springer 2012-09-02
_[38] 논문 A proof procedure for quantification theory: its justification and realisation
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_[40] 뉴스 Computer Math Proof Shows Reasoning Power http://www.nytimes.c[...] The New York Times 2008-10-11
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_[42] 웹사이트 SRI International Computer Science Laboratory - John Rushby http://www.csl.sri.c[...] SRI International 2012-09-22

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